Une infinité de nombres premiers de la forme 6n + 5 - Corrigé

Énoncé

Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $6n+5$ .

Solution

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme $6n+5$ , c'est-à-dire de nombres premiers congrus à $5$ modulo $6$ .

On les note \(5 où les $p_i$  sont des   nombres premiers congrus à $5$ modulo $6$ .

On pose $N=6p_1{p}_2...p_k+5$ .

Soit $q$ un diviseur premier de $N$ .

• Si $q$ était pair, alors $N$ serait aussi pair, et donc divisible par $2$ .
  Or $N\equiv 6p_1{p}_2...p_k+5\equiv 5\equiv 1[2]$ , donc $N$ n'est pas divisible par $2$ , et donc $q$ n'est pas pair.
  On en déduit que $q$ n'est congru ni à $0$ , ni à $2$ , ni à $4$ modulo $6$ .
  
• Si $q$ valait $3$ , alors on aurait $N=3q^{\prime }$ avec $q^{\prime }\in \mathbb{N}$ , et donc $5=3q^{\prime }-6p_1{p}_2...p_k=3(q^{\prime }-2p_1{p}_2...p_k)$ , donc $3$ diviserait $5$ : c'est absurde.
  Ainsi $q\ne 3$ et $q$ n'est pas congru à $3$ modulo $6$ .
  
• Si $q$ valait $5$ , alors on aurait $N=5q^{\prime }$ avec $q^{\prime }\in \mathbb{N}$ , et donc $6p_1{p}_2...p_k=5-5q^{\prime }=5(1-q^{\prime })$ , donc $5$ diviserait $6p_1{p}_2...p_k$ : c'est absurde, car tous les $p_i$ sont strictement supérieurs à $5$ .
  Ainsi $q\ne 5$ et $q$ n'est pas congru à $5$ modulo $6$ .
  

Finalement, on en déduit que $q\equiv 1[6]$ .

Par conséquent, $q$ étant un diviseur premier quelconque de $N$ , on en déduit que $N$ s'écrit comme produit de facteurs premiers tous congrus à $1$ modulo $6$ , et donc que $N\equiv 1[6]$ .

Or, par définition de $N$ , il est clair que $N\equiv 5[6]$ . C'est une contradiction, car $5\not\equiv 1[6]$ .

Finalement, il existe donc une infinité de nombres premiers de la forme $6n+5$ avec $n\in \mathbb{N}$ .